Mario Valle Web

La matematica al lavoro

Ricercatori delle più diverse discipline utilizzano per le loro ricerche i servizi del centro di calcolo dove lavoro. Con alcuni di loro ho collaborato su progetti di visualizzazione o di analisi e comprensione dei dati in cui mi sono spesso trovato ad esplorare ambiti matematici per me inusuali. Inusuali perché? Perché non hanno fatto parte del mio percorso universitario, e questo può essere comprensibile, ma potevano benissimo fare parte dell’educazione generale dove, sono sicuro, avrebbero acceso in me ancora più entusiasmo per la matematica e la scienza in generale.

Dalla mia esperienza ho tratto esempi di aree dove la matematica la fa da padrone, ma in forme sconosciute nei programmi scolastici e perciò, credo, curiose ed interessanti e li ho raccolti qui sperando che stimolino l’interesse per la materia.

Cristalli e simmetrie

In uno dei miei progetti ho a che fare con i cristallografi. Per loro le simmetrie e le leggi matematiche sottostanti sono il pane quotidiano. Ma non sono solo astrazione e teoria, sono leggi con conseguenze molto concrete e visibili, infatti, le leggi della simmetria determinano la forma macroscopica dei cristalli, quella che vediamo ed ammiriamo, ma soprattutto determinano le loro caratteristiche meccaniche. Basti pensare a diamante e grafite: stesso elemento chimico ma differenti simmetrie e di conseguenza caratteristiche fisiche contrastanti.

Le simmetrie e le loro leggi non sono rilevanti solamente per i cristalli. Le ritroviamo dappertutto attorno a noi, perché noi umani siamo attratti dalla simmetria. Per esempio ogni parete dell’Alhambra di Granada è decorata da arabeschi ripetuti che mostrano differenti tipi di simmetria. Dalla teoria si sa che esistono solo 17 diversi tipi di simmetrie per un disegno piano. E lì ci sono tutti. Comunque non occorre viaggiare fino a Granada per ammirare le possibilità offerte dalle simmetrie. Basta uno sguardo ai pavimenti a parquet, ai marciapiedi lastricati, ai muri di mattoni oppure ai fregi decorativi sui vasi greci per trovare tantissimi esempi di simmetrie piane. Insomma, basta guardare e non limitarsi a vedere.

Quando parliamo di simmetria, parliamo di solito di simmetria di traslazione, di rotazione, speculare e delle loro combinazioni. Ma esiste anche una simmetria su cui non ci si sofferma spesso: la simmetria di scala. Ci sono, infatti, oggetti che appaiono simili a se stessi ad ingrandimenti differenti, come per esempio i broccoli romani, le felci, la sequenza montagna-roccia-sasso-granello di sabbia od oggetti artificiali come i frattali.

Non solo le simmetrie sono affascinanti. È affascinante anche quando le simmetrie si rompono. Accade nelle transizioni di fase, come lo scioglimento del ghiaccio, in cui si perdono o si acquistano simmetrie; accade nella catastrophe machine, una struttura simmetrica che improvvisamente salta ad una non simmetrica e accade nello sviluppo dell’embrione: da sfera di cellule massimamente simmetrica ad organismo con simmetria solo bilaterale.

Spazi a molte dimensioni

A volte per semplificare un problema bisogna complicarlo. Un problema che dovevo risolvere era classificare circa diecimila strutture cristalline secondo certi criteri. Tentando una soluzione tradizionale mi sono immediatamente impantanato nei dettagli di queste strutture. Che cosa ho fatto allora? Ho modellato i cristalli come punti in uno spazio a 1800 dimensioni, uno spazio inimmaginabile per noi abituati a vivere in uno spazio che di dimensioni ne ha solo tre. In questo spazio il problema si è semplificato, ma, cosa più importante, è diventato simile a tanti altri le cui soluzioni sono ben conosciute.

Una volta acquisito il concetto di dimensione (un punto ha zero dimensioni, una linea una, una superficie due e lo spazio che conosciamo tre), con la sola potenza della mente possiamo costruire spazi a più di tre dimensioni, anche se non riusciamo a visualizzarli o immaginarli. In questi spazi molti concetti per noi usuali devono essere rivisti, ma si acquisisce più libertà di quanta se ne abbia nel nostro mondo tridimensionale. I matematici, per esempio, ci dicono che in uno spazio a quattro dimensioni non c’è nodo che non si possa sciogliere. Ma l’aspetto più importante della libertà acquisita è che posso applicare metodi matematici a campi che si credevano estranei. Per esempio le analisi di mercato, che trattano oggetti (i questionari) con tantissime dimensioni (una per ogni domanda), applicano concetti che sono altrettanto validi parlando delle mie strutture cristalline o di analisi del DNA.

Gli spazi a così tante dimensioni li utilizziamo inconsciamente anche nella vita quotidiana. Pensate a quando cercavate un’auto da comprare. Potete immaginare le auto come punti in uno spazio a varie dimensioni, dimensioni che possono essere: il costo, la cilindrata, i consumi, la velocità massima, ecc. Questo insieme di numeri in un certo senso identifica un punto in questo spazio, che poi è l’auto con quelle caratteristiche. In un tale spazio, anche se non riusciamo a visualizzarlo, è semplice immaginare che le auto di lusso, o meglio i punti che le rappresentano, siano raggruppate in una zona dello spazio e le utilitarie in un altro. Ecco che il problema di scegliere un’auto si semplifica perché ci si può concentrare solo su una piccola zona di questo spazio astratto.

Spazi strani

Non solo viviamo in uno spazio a tre dimensioni, ma ci aspettiamo pure che questo spazio si comporti in una certa maniera. Non riusciamo a concepire nulla di diverso, come per esempio uno spazio in cui salendo una scala alla fine ci si ritrovi al punto di partenza. Invece con la matematica possiamo definire spazi con le caratteristiche che vogliamo. Potenza dell’astrazione!

Un esempio semplice di questi spazi è la superficie di una sfera, uno spazio bidimensionale infinito in cui muovendosi in linea retta ci si ritrova al punto di partenza. Oltre alle formiche, a chi può interessare uno spazio del genere? Per esempio a me, che in un progetto ero interessato solamente alle direzioni spaziali a partire da un punto. Indicando le direzioni con delle frecce della stessa lunghezza, allora le loro punte giacciono sulla superficie di una sfera.

Escher spesso utilizzava spazi inusuali per spingere chi guardava i suoi quadri lungo percorsi infiniti ed intriganti, pur nella limitatezza fisica dell’opera visiva. Per esempio nella litografia Print Gallery del 1956 chi guarda si ritrova dentro una galleria d’arte in cui è esposta la litografia dove c’è una persona che guarda la litografia e così via all’infinito. Un’analisi matematica del curioso buco bianco presente al centro dell’opera mostra come lavorava Escher e come dietro a ciò che si vede si celi della robusta geometria di un tipo che non siamo abituati a studiare a scuola.

Un altro esempio di spazio strano lo troviamo al centro di calcolo dove i 22.128 processori del supercalcolatore Monte Rosa sono collegati tra loro in modo tale che ognuno di essi sia connesso ai suoi sei vicini. È una cosa facile da immaginare se i processori sono disposti su una griglia tridimensionale, ma che diviene difficile da concepire quando si considerano i processori posti sulle facce esterne di questa griglia. Muovendosi su di essa (che tra l’altro si chiama toro quadridimensionale) un messaggio che lascia un processore e va sempre in linea retta ritorna al processore che lo ha inviato, e anche vagando liberamente non incontra mai un confine dove il suo spazio termina. Insomma, è un altro esempio di spazio infinito ma limitato, come la superficie della sfera.

Altri esempi di spazi strani li troviamo negli anelli di Möbius, che hanno una sola faccia, nella bottiglia di Klein che ha una sola faccia ma in più non ha bordi. Il bello è che questi esempi non sono solo delle curiosità matematiche, ma hanno applicazioni ancora più strane, come accade per i nastri dell’archivio magnetico del centro di calcolo che sono avvolti a formare appunto un anello di Möbius.

Reti e grafi

Anche senza andare tanto lontano, ci sono spazi “strani” che conosciamo molto bene. Parlo delle reti: internet in primis, reti sociali (Facebook), reti di relazioni, reti di amici (chi conosce chi), reti stradali e così via.

I grafi, che rappresentano in maniera astratta queste reti, sono degli spazi che nulla hanno da invidiare al nostro quotidiano spazio tridimensionale. Hanno le loro leggi ed i loro teoremi, hanno proprietà diverse dalle usuali, come accade per esempio per la distanza tra due punti. Con questi strumenti posso rispondere a domande come: è vero che ci sono sei gradi di separazione tra due persone qualsiasi? O risolvere problemi ormai classici, come quello della passeggiata di Kant ed i sette ponti di Königsberg, che però hanno applicazioni molto pratiche, per esempio stabilire se un turista può visitare tutte le località che gli interessano senza ripassare due volte per la stessa strada.

Ovviamente reti e grafi ne ho incontrati anche studiando i cristalli. Se collego tra loro i punti che rappresentano cristalli in qualche maniera “vicini” nel loro inimmaginabile spazio a 1800 dimensioni, il grafo risultante ha un ordine che non era deducibile dalle sole proprietà fisiche dei singoli cristalli.

Matematica per la computer graphics

Tante rappresentazioni tridimensionali che ci vengono proposte al cinema o nei videogiochi ci riempiono di ammirazione, ma non ci fermiamo mai a considerare la matematica che le rende possibili. Oltre alle leggi della prospettiva, che uniscono arte, matematica e computer graphics, c’è la matematica dei movimenti in tre dimensioni, come le rotazioni. Il lato entusiasmante di tutta questa matematica è che i risultati e gli errori si vedono immediatamente perché da astratti divengono percepibili con i sensi.

La visualizzazione che faccio trasformando numeri in immagini si appoggia pesantemente sulla matematica per modellare e muovere gli oggetti grafici prodotti e da ultimo proiettarli sullo schermo. Gli strumenti che utilizzo sono ormai delle black-box in cui qualcuno ha programmato la matematica necessaria lasciando a me, l’utente, la possibilità di concentrarmi, utilizzando la visualizzazione, solo sul problema scientifico sotto studio.

Tornando ai videogiochi e ai film d’animazione, balzano all’occhio tanti altri impieghi della matematica. Uno fra tutti: generare del fumo realistico. Intuitivamente creare del fumo casuale sembra semplice, ma il nostro occhio è molto sensibile alla casualità non corretta: ci accorgiamo subito se qualcosa è artificiale. Insomma, deve essere casuale ma non troppo, come vedremo nel prossimo argomento.

La matematica del caos

Quando si parla di caos, si intende appunto qualcosa di imprevedibile, ma con un ordine soggiacente, un disordine non totalmente imprevedibile, ma in qualche maniera deterministico. Sistemi artificiali di questo tipo sono utili per la computer graphics, ma esistono anche molti sistemi casuali naturali, come la turbolenza, o certi sistemi matematici, come i sistemi iterativi, su cui si può dire qualcosa, fare qualche misura nonostante la loro natura apparentemente imprevedibile. Un esempio di sistema caotico è ancora una volta il mio insieme di diecimila cristalli: sembrano disposti assolutamente a caso nello spazio, ma mostrano un ordine soggiacente inaspettato.

Gli esempi visuali più curiosi di questi sistemi sono come sempre i frattali, ma possiamo giocare anche con altri sistemi semplici che danno risultati caotici. Si può sperimentare con i sistemi iterativi in cui una semplicissima espressione matematica utilizzata su se stessa produce sequenze di numeri che, se rappresentate graficamente, mostrano una complessità affascinante.

Algoritmi genetici e calcolo evolutivo

A scuola ci convinciamo che la matematica è complessa, che per ottenere effetti complessi servono cause complicate. Non è assolutamente vero.

Un esempio ancora una volta è dato dai frattali. Esplorare un frattale è quasi inquietante per la complessità che rivela. Ma un frattale molto conosciuto e non meno affascinante come l’insieme di Mandelbrot è generato da una formula semplicissima: elevare al quadrato e sommare.

Un altro esempio di comportamento complesso generato da una matematica semplicissima è dato dal gioco “Life” di Conway. Da uno stato iniziale di punti sparsi su una griglia, evolvono forme strane e raggruppamenti mobili. Il tutto è governato da tre sole regole in cui la matematica usata non va oltre la somma di otto numeri ed un confronto. Ma le idee che stanno alla base di questo gioco sono diventate il punto di partenza per tutta una gamma di metodi di calcolo poco ortodossi. Alcuni espandono l’idea del gioco creando i cosiddetti automi cellulari, altri imitano l’evoluzione biologica e risolvono i problemi con la strategia del “sopravviva il più adatto” facendo appunto evolvere una popolazione di soluzioni possibili mantenendo in gara solo le migliori.

Un esempio famoso viene dalla NASA, dove hanno applicato questi metodi per creare un’antenna per le sonde spaziali. Il risultato non sarebbe mai venuto in mente ad un progettista umano, ma è più efficiente che qualsiasi altra antenna. Anche sui supercalcolatori qui al centro girano alcune di queste applicazioni per fini molto seri. Per esempio è stato un algoritmo genetico a generare i diecimila cristalli che sto analizzando.

Scrivere e comunicare

Scrivere e comunicare non sembrano temi matematici. E invece sì, lo sono! Scrivere e comunicare sono fondamentali per ogni disciplina scientifica perché qualsiasi ricerca o studio, se non è comunicato e fatto conoscere, non ha nessun effetto sulla conoscenza scientifica. È come se non fosse mai stato fatto.

Nel mio lavoro il prodotto finale spesso è un articolo per una rivista specializzata o una presentazione per una conferenza. Oltre alla mia produzione, mi capita spesso di dover revisionare il lavoro di altri. Infatti, base della credibilità scientifica di ciò che viene pubblicato è la revisione anonima da parte di altri esperti del ramo. Vi devo confessare che molte volte mi trovo davanti articoli illeggibili, su cui non posso esprimere un parere scientifico semplicemente perché non capisco cosa c’è scritto.

Non parliamo poi delle presentazioni. Troppe volte usano slide esageratamente piene di parole per giunta scritte in carattere piccolo e illeggibile. E troppe volte non entusiasmano e trascinano, tanto che mi domando che cosa comunicano? Che cosa dovrebbe spingermi ad interessarmi al lavoro dello speaker, se alla sua presentazione mi sono annoiato?

Certo, ogni disciplina ha le sue tradizioni ed i suoi modi per quanto riguarda il modo di comunicare e scrivere. Ma perché non cominciare a scuola a fare qualcosa? Per esempio si potrebbero presentare dei risultati non sotto forma di interrogazione o compito a casa, ma di articolo per una ipotetica rivista scientifica o con una presentazione al resto degli studenti. Almeno alla fine dell’università gli studenti non sperimenteranno quel terrore che ho provato io nell’affrontare la scrittura della tesi: per me era la prima volta da anni che scrivevo più di quattro facciate di foglio protocollo!

Un’ultima annotazione. Uno dei problemi per cui gli studenti rifiutano la matematica è perché si sentono inadeguati. Saper esporre le proprie idee è a mio parere un modo fantastico di ribaltare questa difficoltà, se non altro perché mentre si scrive ci si chiariscono le idee.

Altri temi

Non ho avuto la fortuna di toccare altri temi matematici inusuali nel mio lavoro, ma scorrendo alcuni libri divulgativi se ne ha una scelta davvero ampia. Ne elenco qui alcuni che potrebbero stimolare la curiosità di altri, come hanno stimolato la mia.

Crittografia e codici
Come mai risultati molto astrusi, per esempio legati ai numeri primi, sono in uso nella vita quotidiana? Anche la dose di spie, guerre ed intercettazioni varie rende il campo affascinante.
Matematica ed arte
Le già citate leggi della prospettiva. La musica. Pollock ed i frattali. I disegni Kolam delle donne Tamil Nadu.
Matematica in cucina
La matematica della percolazione è alla base della preparazione del caffè ma anche di tantissimi fenomeni all’apparenza scollegati, come le epidemie e gli incendi boschivi. Le patatine fritte parlano di turbolenza e trasporto del calore. Anche l’aritmetica ha il suo spazio: viviamo la legge commutativa della somma ogni volta che siamo alle casse del supermarket perché il totale non cambia se riordiniamo i prodotti sul nastro. La dieta come un modello matematico: in una dieta basata su tre alimenti determinare le quantità necessarie per soddisfare il fabbisogno quotidiano mostra cosa significa risolvere un sistema di equazioni.
Teoria delle catastrofi
Quei fenomeni in cui un piccolo effetto genera una transizione violenta a qualche altro stato.
Logica sfumata (fuzzy logic)
Non sempre la risposta è sì o no. Nella vita reale si parla di “un poco”, “abbastanza” e così via.

Per saperne di più

Volendo approfondire i temi proposti raccolgo qui alcuni libri che ho letto o che voglio leggere a breve. La speranza è che aiutino a rendere più chiaro il perché ho trovato questi temi così interessanti.

Cristalli e simmetrie
Il disordine perfetto
L’equazione impossibile
Spazi a molte dimensioni
Flatlandia, racconto fantastico a più dimensioni
Flatterlandia
La Quarta Dimensione
Spazi strani
Flatterlandia
Reti e grafi
Link. La scienza delle reti
Matematica per la computer graphics
Non ho trovato ancora un libro interessante da proporre
La matematica del caos
Caos
Algoritmi genetici e calcolo evolutivo
Non ho trovato ancora un libro interessante da proporre