Mario Valle Web

Un’altra matematica è possibile

Uno sguardo su alcuni aspetti poco considerati della matematica: l’importanza dell’immaginazione e dei sensi, la matematica come scienza delle configurazioni ma anche sulle manie e gli ideali dei grandi matematici, da un punto di vista un po' inusuale, quello di chi si occupa di rendere visibili i numeri prodotti in grande quantità sui supercomputer del Centro Nazionale Svizzero di Supercalcolo.

Molte idee che si ritrovano nel mondo del supercalcolo sono strettamente correlate alle idee di Maria Montessori e al suo metodo.

Come ha detto Piaget: “La conoscenza non è una copia della realtà. Conoscere un oggetto un evento, non è semplicemente guardarlo e farsene una copia mentale, o un’immagine. Conoscere un oggetto è agire su lui. Sapere è cambiare, trasformare l’oggetto e capire il processo di questa trasformazione”. La matematica è molto importante nel la vita quotidiana: il numero è dappertutto. Maria Montessori scrisse: “I bambini sono esortati dalle leggi della loro natura a trovare esperienze attive nel mondo circostante. Per questo usano le loro mani: non solo per scopi pratici, ma anche per la conoscenza”. Basandosi su questo principio, la matematica Montessori è presentata in modo divertente e interessante, usando materiali concreti che aiutano i bambini a costruire solide fondamenta per i concetti astratti. Attraverso scelta libera e ripetizione, i bambini possono compiere i loro progressi nella conoscenza, seguendo un ritmo che dipende dalle loro necessità interne, e non da quanto stabiliscono insegnanti o genitori. La matematica può essere affrontata in maniere più consone al funzionamento della nostra mente.


Buonasera!

La matematica è arida, la matematica è difficile, la matematica non la capisco. Sono solo alcune delle reazioni quando sentiamo parlare di matematica i nostri figli o i figli di amici o gli adulti stessi.

E invece siete qui. Forse incuriositi dai racconti dei vostri figli che vi dicono “oggi ho giocato con la matematica”. Oppure vi domandate com’è possibile insegnarla con perline e aste colorate. O magari siete rimasti affascinati dal vedere manipolare questi oggetti anche da bambini molto piccoli.

Ecco. Vorrei che alla fine di questa chiacchierata ve ne tornaste a casa con meno paura per la materia o per le cose “strane” che si fanno in una scuola Montessori. Magari con qualche idea in più su come funziona il nostro cervello quando ragiona sui numeri e come questi vengono usati in ambito scientifico. In definitiva vorrei che vi convinceste che “un’altra matematica è possibile”.

Fino a non tantissimi anni fa ero seduto anch’io dove siete seduti voi, in un incontro simile a questo, cercando di capire che cosa rendeva mio figlio così felice di frequentare una scuola Montessori. È tramite lui che ho incontrato questo mondo. Un mondo di cui all’inizio non ne sapevo nulla, la scelta della scuola è stata per me un po’ un atto di fede, ma…

… ascoltando i suoi racconti, osservando e leggendo ho iniziato a trovare tanti paralleli fra il mio lavoro e quello che gli vedevo fare e quello che mi raccontava della sua giornata a scuola.

Io vivo e lavoro a Lugano, al Centro Svizzero di Calcolo Scientifico, a stretto contatto con ricercatori, scienziati e …

…alcuni dei supercomputer più potenti al mondo. Questo è Piz Daint, il calcolatore più potente in Europa e l’ottavo al mondo.

Questi non sono solo delle macchine che fanno conti e producono montagne di numeri. Per gli scienziati questi sono dei laboratori, …

…dove possono svolgere esperimenti che sarebbero costosi o complicati da realizzare in pratica, …

…oppure sarebbero impossibili, come creare una galassia, …

…o simulare un pezzettino microscopico del cervello di una persona, che sicuramente non gradirebbe molto che si frugasse fra i suoi neuroni.

Dietro ognuno di questi filmati ci sono ore o giorni di calcolo e montagne di numeri. Ma lo scienziato non è tanto interessato ai numeri in quanto tali, a lui fondamentalmente interessa comprendere. Comprendere un fenomeno fisico attraverso la sua simulazione. È ovvio che la matematica giochi un ruolo fondamentale in questo lavoro.

Eugene Wigner, un grande fisico teorico che nel 1963 fu insignito del premio Nobel, viene spesso citato anche per un breve saggio il cui titolo è “L’irragionevole efficacia della Matematica nelle Scienze della natura” (The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, “Communications in Pure and Applied Mathematics”, vol. 13, 1960). In esso Wigner si pone una domanda elementare: come mai la matematica si dimostra così utile per formulare le leggi della natura? Non siamo qui per rispondere a questa domanda. La prendiamo come un dato di fatto.

Al Centro di Calcolo, più che la purezza della matematica e la bellezza asettica delle formule, interessa…

… come manipolare queste formule per trasformarle in qualcosa che il calcolatore possa comprendere. E poi, alla fine della simulazione, con le tecniche offerte dalla visualizzazione scientifica, rendere visibili e concreti i risultati numerici, come questo pigro nuoto di una medusa.

Riflettendo su questo aspetto del mio lavoro dove la matematica viene utilizzata quasi esclusivamente in forma concreta e applicata e analizzando come facciamo a rendere comprensibili i risultati numerici delle simulazioni…

… sono giunto alla conclusione che più che la mente logica e analitica, a un matematico serve quasi sempre…

…l’altro emisfero, quello creativo, grafico, concreto. (Attenzione! Il cervello non funziona proprio così, ma è un’utile metafora).

E al Centro di Calcolo io e i miei colleghi lo dimostriamo ogni giorno sbracciandoci per trasmettere l’idea che abbiamo in testa cercando di renderla concreta nei gesti…

…oppure scarabocchiando sulle lavagne di cui gli uffici del Centro di Calcolo sono pieni cercando di rendere concrete e visibili le idee astratte e la matematica che sta dietro queste idee. Ma veniamo a un esempio concreto.

Le tabelline.

Chi non ricorda la tavola pitagorica stampata alla fine dei venerabili Quaderni Pigna, l’unica distrazione possibile durante le spiegazioni noiose.

Per capire come mai sono lo spauracchio di generazioni di studenti, sono andato a leggermi il libro di Stanislas Dehaene Il Pallino della Matematica. Nel libro l’autore fa un esempio piuttosto interessante.

Immaginate, dice, di dover imparare a memoria gli indirizzi della vostra rubrica telefonica uno dietro l’altro. Difficile vero? Ma poi, probabilmente con una grossa risata, ci avverte che ci ha fatto uno scherzo.

Infatti, ogni nome corrisponde a una diversa cifra e la falsa rubrica non è nient’altro che …

… un pezzo della famigerata tavola pitagorica.

Osservata da questo punto di vista, la tavola pitagorica riacquista, ai nostri occhi di adulti, la difficoltà intrinseca che presenta ai bambini che la vedono per la prima volta. La cosa straordinaria non è che facciamo fatica a impararla, ma piuttosto che finiamo per ricordarcela. Perché questo tipo di elenco presenta un serio ostacolo per la nostra me­moria? Qualsiasi agenda elettronica, dotata di una minuscola memoria di meno di un migliaio di byte, potrebbe immagazzinarlo senza difficoltà. Questa metafora informatica offre da sola la risposta: se il nostro cervello non riesce a ricordare i fatti matematici è proprio perché la sua memoria non è organizzata come quella di un calcolatore. La memoria umana è associativa e intreccia legami multipli tra informazioni disparate. Sono proprio questi legami associativi che permettono la ricostruzione di un ricordo sulla base di informazioni frammentarie.

E invece cosa trovo in una scuola Montessori?

Trovo una tavola di legno con dei chiodi e un filo di lana. La tavoletta o mandala delle tabelline.

La tabellina del due? Conto uno due e avvolgo il filo.

Tre quattro e avvolgo il filo.

Alla fine ho un pentagono.

La tabellina del tre? Uno due tre e avvolgo il filo.

Così via e mi ritrovo con una stella a dieci punte.

La tabellina del quattro?

Stesso procedimento e alla fine la stella è a cinque punte.

La tabellina del cinque è tutta sua, è una linea.

La tabellina del sei …

…guarda guarda, la stessa stella della tabellina del quattro. Ci sarà forse una connessione tra 4 e 6?

La tabellina del sette crea una stella …

… come quella della tabellina del tre. Allora c’è una connessione tra 7 e 3 come fra 6 e 4.

La tabellina dell’8. Mi aspetto la stessa struttura della tabellina del due.

Infatti!

In cosa siamo incappati? Nella materializzazione di un concetto astratto come la tabellina.

Non solo, abbiamo trasformato un lavoro puramente intellettuale di traduzione di simboli nel corrispondente significato in un lavoro di riconoscimento di forme. E tutti i materiali matematici funzionano così. Sullo sfondo di questa slide vedete il decanomio, un altro modo di lavorare sulle tabelline.

Questo ci porta dritto dritto…

…alla moderna evoluzione della matematica che punta ad aggiornarne la definizione da «la scienza dello spazio e del numero» in «la scienza delle configurazioni».

Qualcosa che non è di oggi, infatti già nel 1940 il matematico Hardy diceva «Un matematico, come un pittore o un poeta, è un creatore di schemi. Se i suoi schemi sono più permanenti dei loro, è perché sono fatti di idee.»

Risalendo più indietro ancora, già Evariste Galois cambiò il volto dell'algebra concentrandosi non più su numeri o funzioni, bensì su strutture, in cui gli oggetti matematici non erano presi nella loro singolarità, bensì nel loro insieme e uniti da legami che strutturavano questi insiemi.

Le strutture sono tutto intorno a noi. Prendiamo la pagina di Google (questa è di qualche anno fa). L’occhio è guidato dagli allineamenti e dai raggruppamenti a trovare facilmente ciò che cerca.

Pensate come sarebbe difficile se la pagina di Google fosse fatta invece così.

A cosa è dovuta questa nostra capacità di riconoscere schemi e strutture a colpo d’occhio?

È dovuta al supercomputer che abbiamo dietro agli occhi addestrato da milioni di anni di sopravvivenza difficile, quando era vitale per arrivare all’ora di cena individuare i predatori distinguendo a colpo d’occhio le ombre degli arbusti dalle macchie del manto di un felino. Oggi non dobbiamo più sfuggire ai predatori, ma riusciamo ancora a cogliere istantaneamente strutture, schemi e regolarità attorno a noi senza sforzo e soprattutto senza doverci pensare consciamente.

Capacità che a volte ci aiuta un po’ troppo. Per esempio qui non riusciamo a non vedere un quadrato o a vedere due triplette di punti o semplicemente due linee ondulate. In un qualche modo il nostro sistema visivo pre-processa la scena per semplificarci l’interpretazione, anche se ha volte ci fa vedere ciò che non c’è.

Ancora una volta, abbiamo queste capacità, perché non usarle?

Io lo faccio con le tecniche della visualizzazione scientifica per aiutare i ricercatori a capire i numeri che producono. A volte bastano dei semplici grafici per cogliere immediatamente le strutture nascoste nei numeri.

E nella matematica scolastica come può aiutare tutto questo?

Mi è capitato fra le mani un libro che usa mia moglie a scuola in cui l’utilizzo e l’importanza delle strutture è chiaro e visibile. La quantità non la rileviamo dalla percezione delle cose, ma dalla posizione di ciascuna, cioè dallo schema cui obbediscono. I bambini intuiscono l'importanza di questo ordine se li si mette in condizioni di prestarci attenzione. Camillo Bortolato ha inventato un metodo di approccio alla matematica, il «Metodo analogico intuitivo» che, pur non essendo assolutamente legato a Montessori, pure ne condivide alcune idee. Perché che cosa fa …

… questo bambino che lavora con il materiale Montessori delle marchette? Anche lui sta creando configurazioni a partire dall’idea astratta di numero!

E in questa scuola tradizionale non solo materializzano la linea dei numeri, questi bambini la creano con tutto il corpo, non solo con la testa. Creano una configurazione: la linea dei numeri.

Ma per costruirsi un’immagine mentale della linea dei numeri serve vederla e toccarla! Noi costruiamo immagini mentali, immaginiamo solo ciò che ci entra attraverso gli occhi e le mani.

Ed ecco perché qui troviamo il serpente del mille e bambini che mettono freccette con i valori. Stessa idea, differenti etichette pedagogiche.

Ma torniamo all’altro aspetto di questi esercizi: i bambini usano l’intero corpo, non solo la testa.

Quando qui vedete una bambina lavorare con i fuselli, annodandoli assieme, non solo acquisisce il concetto di numero come composto da unità legate assieme, ma il movimento delle mani e il dover fare il nodo aiuta ad acquisire il concetto con tutto il corpo. Oltre ad imparare a fare i nodi, che non guasta.

Torniamo ai materiali che si usano in una scuola Montessori. Abbiamo visto come materializzano un’astrazione attraverso la creazione di strutture. Stesso concetto, strutture differenti. Così è più probabile che il concetto si fissi nella mente.

Del resto è quello che si fa per aiutare la comprensione dei dati con la visualizzazione scientifica: si rappresenta la stessa quantità in maniere differenti sperando che almeno uno dei modi faccia scattare nella testa del ricercatore la comprensione cercata. Qui per esempio si rappresenta l’altitudine di un modello topografico in due maniere: come vera e propria altitudine della superficie del terreno e utilizzando una scala di colori.

Questa ridondanza è differente dall’aggiungere elementi inutili o decorativi.

Perché i materiali Montessori non rendono più simpatico l’apprendimento usando colori e disegnini? Perché dobbiamo sovraccaricare il sistema percettivo diluendo il concetto che stiamo presentando in una marea di rumore e stimoli irrilevanti? La torre rosa è rosa proprio per questo motivo.

Il presentare dei dati, qui sono addirittura solamente tre, dico tre, numeri annegandoli in un mare di dettagli decorativi inutili non aiuta la percezione, il vedere il concetto che i numeri rappresentano. Ho voluto ritagliare questa grafica perché non solo è “barocca”, è pure sbagliata! Qui i numeri crescono verso il basso.

Invece un grafico tradizionale e magari un po’ banale rende immediatamente chiaro che c’è stato un trend ascendente per trent’anni che si è trasformato in soli cinque anni in un crollo quasi verticale.

Così è la comprensione generata dai materiali Montessori. Non complicazioni e distrazioni gratuite, ma un concetto proposto chiaramente e scientificamente alla mente del bambino.

Andiamo avanti. Se fate un giro in una qualsiasi scuola Montessori degna di questo nome, non vi stupirete a trovare le aule sempre ben ordinate. Non è mania, né qualcosa fine a se stesso. È ricordare visivamente un aspetto della mente matematica dei bambini. Sì, i bambini hanno fin da piccoli una mente matematica.

Basta vedere questo bambino del nido rimettere in ordine da solo i materiali che ha usato.

Questo ordine e questa cura ci fanno capire quanto sia vera questa affermazione di Maria Montessori.

In più, se fate attenzione, questa frase non parla di tabelline, formule e teoremi. Parla di esattezza e ordine. Quindi forse fine dell’insegnamento della matematica qui non sarà forgiare geni matematici, ma persone.

E poi le mani. Tutto quello che si fa una scuola Montessori parte dalle mani, la matematica in primis.

Sono le mani che fanno matematica. Perché il bambino pensa letteralmente con le mani.

Mani che nei secoli passati erano alla base dell’aritmetica e dei calcoli di tutti i giorni.

Con le mani il bambino materializza perfino l’astrazione del teorema di Pitagora.

Così guardando i bambini che lavorano con i materiali di sviluppo, vediamo che stanno “pensando con le mani”, mica stanno giocando!

Mani e matematica ci svelano un altro segreto.

Vedendo questa scena quasi tutte le mamme direbbero “Stai attento!” Ma questa avvertenza è un’astrazione. Che cosa vuol dire “stai attento”? Il bambino si domanda: che devo fare? Che significa?

Invece fin dal nido Montessori la maestra dice: “Marco, tieni l’arancia così e impugna il coltello così, lontano dalle dita”. Non è un’astrazione, è in concreto cosa il bambino deve fare.

La stessa cosa accade con una formula come questa. Questa formula del cubo del binomio è un’astrazione, è un modo rapido ma astratto di spiegare…

…quello che con le mani capisco in cinque minuti! E così, manipolando una rappresentazione fisica del cubo del binomio, smontandolo e rimontandolo,…

… quelle lettere e il loro significato non sono più una cosa angosciante da ricordare a forza di memoria. Hanno un senso, vedo i singoli pezzi della formula e come si combinano!

Il manipolare con le mani è fondamentale per la matematica. Questo studio ha trovato una fortissima correlazione tra l’abilità dei bambini piccoli nell’assemblare delle strutture LEGO molto semplici e le future abilità matematiche. Strano, mi direte, qui non si parla di numeri. Ma la matematica, ripeto, è la scienza delle strutture e delle configurazioni.

In una scuola Montessori, oltre al materiale matematico, vediamo i bambini manipolare tanti altri materiali come questi incastri geografici. Apparentemente non sono legati alla matematica. Ma non è vero perché manipolare con le mani significa essere capaci di manipolare strutture nella mente, …

…come ha dimostrato il famoso esperimento psicologico di Shepard e Metzler in cui ruotiamo le rappresentazioni mentali come se fossero oggetti fisici. Come se ne sono accorti? In un quiz come quello della slide, dove bisogna trovare a quale oggetto della riga in basso corrisponde quello in alto, il tempo impiegato per stabilire se una coppia è formata dallo stesso oggetto è proporzionale all’angolo che c’è fra i due oggetti. (Nel problema indicato, alla configurazione in alto corrisponde l’oggetto B).

Un altro aspetto interessante della mente matematica dei bambini me lo ha suggerito Francesco, figlio di una nostra amica, che all’epoca aveva tre anni. Qualche anno fa durante la cena dopo una conferenza a Trento mi si avvicina mi dice: “Mario, sai che so contare fino a 1000?” “Bene, fammi sentire” “1-2-3-4-1000”. Dopo il sorriso iniziale mi ha fatto pensare, perché avevo visto un lavoro di due psicologi…

… che avevano scoperto, primo, che la linea dei numeri che i bambini costruiscono nella mente non è uniforme, è molto schiacciata in fondo esattamente come il conteggio di Francesco. E, secondo, hanno scoperto…

… che più questa linea diviene uniforme, più aumenta la capacità dei bambini ricordare e manipolare i numeri.

Che cosa trovo in una Casa dei Bambini? La catena del 1000 in cui i bambini devono mettere le etichette man mano che contano le perline. E le etichette vengono messe molto dense all’inizio poi un po’ più rade e via via ancora più rade. È esattamente il contrario di come rappresentano la linea dei numeri nella mente. Un po’ come se questo esercizio li aiutasse a stirare la parte più alta dei numeri. È una coincidenza? Non mi sembra.

Come finisce la storia di Francesco? L’ho incontrato di nuovo dopo qualche mese. Nel frattempo aveva incominciato a usare alcuni materiali Montessori a casa. Gli ho ricordato quello che mi aveva detto, come sapeva contare fino a mille. Lui mi guarda con commiserazione e facendo il gesto con le mani di tenere il cubo del mille mi dice: “Ma no! Il mille è pesante”.

Dalle mani i concetti matematici migrano, prima che verso la parte razionale e logica, nell’immaginazione che è il vero luogo dove un matematico lavora.

È tanto importante questo modo di lavorare che il grande Hilbert ha scritto un intero libro intitolato “Geometria e Immaginazione”. Se qualcuno mi dice che la geometria non è matematica gli dico di andarsi a leggersi come la geometria si riconduce alla teoria dei gruppi, per esempio.

Una volta annunciarono a Hilbert che un suo allievo aveva lasciato la matematica per fare il poeta e questi commentò: “Tanto non aveva abbastanza immaginazione per fare il matematico”.

Quindi astrazioni immaginate e materializzate. Lo scriveva il premio Nobel Richard Feynman sulla sua lavagna poco prima di morire: “Ciò che non posso creare, non posso capire”. Bella lezione. Anche uno che scrive “cose da studiare” (“to learn”) sapendo di stare per morire ci da una lezione potente.

Se la matematica diventa un gioco della mente, allora anche inventarsi queste lenzuolate di somme è divertente e spinge a esplorare aspetti non previsti.

Vedete il quadernino? Questo bambino si è inventato un meccanismo per non perdere il filo durante somme così lunghe. E si è inventato delle strutture ad albero.

strutture con cui mi scontro e mi sono scontrato in un progetto. Quelle che vedete qui sono un po’ più complicate ma non molto diverse da quelle che si è inventato quel bambino.

Ciò che non posso fare non posso capire. È un’esperienza comune nella scuola Montessori. Un bellissimo racconto di Mario, figlio di Maria Montessori, in questo numero del quaderno Montessori racconta come in una scuola olandese …

… i bambini stessero scrivendo i quadrati dei numeri a un certo punto qualcuno scoprì che fra numero dell’altro c’è una differenza che è la sequenza dei numeri dispari. Continuando con le differenze si trova una sequenza di 2. Si domandarono: cosa succede con i cubi dei numeri? Continuando con le sottrazioni si arriva a una sequenza di 6. E così via per potenze sempre più grandi. Avevano scoperto che per tutte le potenze le differenze successive arrivano sempre a numeri pari tutti uguali. È interessante leggere …

… la descrizione che ne fa la maestra: “Mai fatti tanti calcoli come in questi giorni; mai visti i bambini esigere così tanta accuratezza da loro stessi poiché il più piccolo errore avrebbe distrutto la regolarità dello schema con i numeri finali, tutti numeri pari. Fu interessante vedere che se c’era stato un errore i bambini lo realizzavano da soli perché il numero risultante non poteva occupare nessun posto nello schema. Così ricominciavano e continuavano fino a trovare il numero esatto.”

Ci sono tre punti degni di nota in questa descrizione: primo, ancora una volta la matematica appare come la scienza degli schemi e delle configurazioni; secondo, come tutti i materiali Montessori, anche questo ha in sé la capacità dell’autocorrezione. Il bambino si accorge da sé di aver sbagliato, senza che glielo debba dire l’adulto. Terzo, i bambini non rifiutano le sfide, se sono interessati. E allora perché porre limiti spesso arbitrari (In prima arriviamo sino al venti…)?

Questo racconto mi ha fatto pensare a un altro scritto dal grande fisico Richard Feynman che, fra un’equazione e l’altra, si era messo a seguire un corso di disegno.

Racconta che l’insegnante non parlava molto con gli allievi, ma a Feynman questo suggerisce una considerazione interessante anche per noi.

Feynman nota che gli insegnanti troppo spesso si sostituiscono agli studenti. “Ho pensato a come insegniamo la fisica: abbiamo così tante tecniche, così tanti metodi matematici che non smettiamo mai di dire agli studenti come fare le cose”. Qualcosa che qui alla scuola Montessori non succede. Quello che invece succede lo annota nello stesso brano …

… dove scrive che ammira l’insegnante perché invece di correggerci ha cercato di ispirarci a sperimentare nuovi approcci.

Qualcosa che una maestra Montessori fa senza quasi pensarci. Osserva i suoi bambini, sa quali sono le esigenze di ognuno, e propone dei lavori, magari anche lavori cui il bambino non è preparato. Qualcosa che stimola il loro interesse e la loro concentrazione.

Proprio il contrario di quello che racconta un librettino che vi consiglio di leggere: “Contro l’ora di matematica” di Paul Lockhart. L’autore si chiede come mai a scuola non si fa matematica e come invece dovrebbe essere avvicinata agli studenti. Vi ho trovato un aneddoto molto interessante.

Lockhart racconta che ai suoi studenti proponeva non di imparare un teorema ma di dimostrarlo in una maniera trovata da loro stessi. Per esempio chiede di dimostrare ai suoi studenti che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo.

La dimostrazione si trova in ogni libro di geometria ed è anche molto semplice. Ma Paul non voleva che gli ripetessero la dimostrazione letta da qualche parte.

E così uno dei suoi studenti ha trovato un’altra dimostrazione basata sulla simmetria. Io penso che se uno di questi allievi avesse potuto utilizzare i triangoli costruttori ci sarebbe arrivato molto rapidamente, …

… perché avrebbe preso familiarità con questa figura geometrica e con tutte le combinazioni che potevano sorgere.

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è un pizzico di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema” scriveva il matematico György Pólya che ha studiato a lungo il processo creativo dei suoi colleghi. Possiamo aggiungere che l’allievo fa tesoro delle risposte (solo) se si è scontrato autonomamente con le domande. Tagliare il momento della domanda, della curiosità, significa togliere significato. E aumentare il rischio che l’apprendimento resti fugace e non lasci traccia sul lungo periodo. Una difficoltà non piccola per l’insegnante: ascoltare i ragazzi. Evitare di trascinarli sulla via che abbiamo in testa noi per risolvere un dato problema, ma cercare di capire la loro via. Così fa ogni maestra Montessori degna di questo nome.

E se usano il materiale in modo non canonico? Montessori diceva che ciò deve essere incoraggiato, se il materiale non è usato in maniera distruttiva (le aste numeriche come spade, per esempio). Ecco, nel Montessori non c’è la rigidità che i suoi detrattori sostengono. C’è serietà. Questa foto mi piace tantissimo soprattutto per lo sguardo questa bimba.

Come far entusiasmare per la matematica i ragazzi? Antoine de Saint-Exupéry scriveva: “Se vuoi costruire una nave non radunare uomini per raccogliere il legno, distribuire i compiti e suddividere il lavoro, ma insegna alla gente la nostalgia del mare infinito.” …

… Perché allora non farli appassionare alle storie dei matematici? A scuola sembra che nessuno abbia scritto i teoremi, sembra di studiare geografia: laghi e fiumi. Invece come non appassionarsi alla triste storia di Galois, ed entusiasmarsi per i suoi ideali da giovane ribelle. I matematici sono persone umane, non sono teoremi! Oppure Abel che ricorda certi nostri adolescenti o le manie per il cricket di Hardy.

E così leggere e far leggere tanti racconti disponibili. Dai cartoni di Paperino nel mondo della matemagica all’enigma di Poincaré e del matematico che l’ha risolto e che ha rifiutato il premio di un milione di dollari dicendo che gli bastava essere riuscito nell’impresa.

Invece quello che succede alle lezioni di matematica lo racconta appunto un romanzo, “Il teorema del pappagallo”: durante le lezioni di matematica non si parlava mai di esseri umani.

La maestra di mio figlio, prendendo spunto proprio da questo romanzo, aveva organizzato delle brevi rappresentazioni su Talete, Fibonacci, Tartaglia e Pitagora con tanto di mantello e la ricostruzione della scuola pitagorica. Risultato? Ragazzi entusiasti e concetti matematici ben scolpiti nella loro mente.

E Maria Montessori? Certo lei non aveva mai fatto questo, ma aveva detto: “Ciò che [il bambino] apprende deve essere interessante, deve affascinarlo: bisogna offrirgli cose grandiose: per cominciare, offriamogli il Mondo” (Dall’Infanzia all’Adolescenza, cap. V pag. 45) ed è proprio questo che ha fatto quella maestra!

Perché le storie sono così efficaci? Perché noi siamo “cablati” per le storie e le storie sono state per millenni l’unico modo di trasmettere la conoscenza. E poi, se ci pensate, una bella storia la vedete letteralmente nella mente. E questo gli scienziati del passato lo sapevano. Raccontavano le loro scoperte come una storia o un dialogo.

Raccontare storie, creare collegamenti. In questa foto dell’Alhambra c’è moltissima matematica. C’è la simmetria speculare, c’è la simmetria destra-sinistra e c’è la simmetria nascosta negli intricati disegni alle pareti. Non solo, quest’immagine ci parla anche di storia (quando è stata costruita e da chi?), di geografia (dov’è?), ancora di storia della matematica (algebra deriva dall'arabo al-ǧabr) e, perché no, di gastronomia (cosa si mangia a Granada?). Del resto non dico nulla di originale …

… se ne parla anche in Psicoaritmetica, dove questo allargare gli orizzonti si mostra far bene anche alla matematica stessa.

Quindi posso vedere la matematica che abbiamo tutto attorno a noi. Per esempio le simmetrie piane delle piastrelle del pavimento.

In questo libro veramente interessante, l’autore racconta alternativamente in un capitolo la storia dello studio delle scoperte riguardo alla simmetria e nell’altro parla del suo lavoro e di come faceva matematica con suo figlio cercando le simmetrie nella pavimentazione di un parcheggio. Ma anche solo fermandosi a questo aspetto della matematica ci accorgiamo che il campo è sconfinato.

Anche oggetti matematici come i frattali, che magari ammiriamo per la loro complessa bellezza, senza cercare di penetrare sotto la superficie ci possono parlare di un’altra forma di simmetria:…

… la simmetria di scala che fa si che una parte di un oggetto sia simile al tutto, come accade nel broccolo romanesco, nei vasi sanguigni, nelle montagne e nelle nuvole.

Credo quindi che la matematica ci può portare a quello che è condensato nel titolo di questo libro di un grande matematico italiano: “Il saper vedere in matematica”. Credo che l’appassionarsi alla matematica voglia dire saper vedere, saper vedere simmetrie, strutture e configurazioni tutto intorno a noi.

Questo matematico, nel suo intervento a una conferenza TED, conclude che: “Capire qualcosa in maniera veramente approfondita ha a che fare con la capacità di cambiare il punto di vista”.

Spero che fino a qui ci siamo convinti che è possibile insegnare la matematica in maniera differente e che è possibile appassionare i bambini e i ragazzini a questa materia. Ci manca solo un ultimo tassello: come rispondere a chi ci chiede a che cosa serva la matematica e chi magari…

… si fa quasi un vanto di non essere tagliato per la matematica? E allora, a che cosa può servirmi lo studio della matematica a scuola?

Beh, studiare matematica per passare gli esami e le interrogazioni mi sembra un obiettivo molto limitato e molto noioso.

Studiare matematica a scuola per diventare un matematico? Può anche essere, ma non è questo il fine. La scuola deve permettermi di poter scegliere quale è la mia strada nella vita.

Spero non siate quei tipo di genitori incoscienti che vogliono forzare i figli a essere geni della matematica, magari da esibire agli amici. Se dalla scuola Montessori uscirà un genio o il fondatore del successore di Google, perfetto. Ma non è questo l’obiettivo.

Possiamo dire che la matematica ci serve per non farci fregare? Anche. Come in questa vecchia pubblicità in cui un’offerta di 1000 ore di connessione gratuite sembrava effettivamente una grande e generosa offerta. Sennonché i 45 giorni in cui durava quest’offerta equivalgono a 1080 ore. Quindi nessuno ce l’avrebbe mai fatta a consumare l’offerta “generosa”.

La matematica ci può servire a non fare figure barbine. “Odiamo la matematica, dicono quattro americani su 10, la maggioranza degli americani” oppure “1960–1969 sei decenni di eccellenza”. Che figuraccia!

Decisamente migliore è la motivazione che ci dà Maria Montessori. Dopo averci assicurati che l’intelligenza umana è un’intelligenza matematica nel senso che abbiamo visto prima, ci dice che è un aiuto fondamentale per comprendere la nostra epoca e parteciparvi. Dall’inflazione allo spread alle moderne tecnologie tutto si basa su principi matematici. Ma non è nemmeno questo l’obiettivo della matematica che si fa in questa scuola.

L’obiettivo è, come in tutto, lo sviluppo del bambino. “Al centro del percorso educativo c’è il bambino e il suo sviluppo e non invece le scienze matematiche; non si tratta di promuovere la padronanza di regole e tecniche ma la comprensione che la matematica esprime.”

Ecco, per prima viene la formazione del bambino come persona completa e poi la comprensione che la matematica può fornire. Non tabelline da imparare a memoria e formule.

Quindi un’altra matematica è possibile. Ed esiste una scuola in cui potenti idee scientifiche su come funziona il nostro cervello informano e guidano materiali solo all’apparenza antichi. Una scuola dove la matematica è insegnata in maniera addirittura più moderna di come viene fatto in tante università.

E allora guardiamo con altri occhi la matematica che si fa nelle scuole Montessori, ascoltiamo i nostri figli quando tornano a casa dicendo che hanno giocato con la matematica.

Grazie per l’attenzione!

 

Riferimenti utili

Stanislas Dehaene, “Il Pallino della Matematica”, Raffaello Cortina Editore (2010)www.raffaellocortina.it/scheda-libro/dehaene-stanislas/il-pallino-della-matematica-scoprire-il-genio-dei-numeri-che-e-in-noi-9788860303646-1297.html
Godfrey Harold Hardy, “Apologia di un Matematico”, Garzanti (2009)www.garzanti.it/libri/godfrey-hardy-apologia-di-un-matematico-9788811685272
Camillo Bortolato e il “Metodo Analogico Intuitivo”www.camillobortolato.it
Brian N. Verdine, Roberta M. Golinkoff, Kathryn Hirsh-Pasek, Nora S. Newcombe, Andrew T. Filipowicz, Alicia Chang, Deconstructing Building Blocks: Preschoolers' Spatial Assembly Performance Relates to Early Mathematical Skills, Child Development, vol. 85, n. 3, May/June 2014, pp. 1062--1076, DOI: 10.1111/cdev.1216510.1111/cdev.12165
Clarissa A. Thompson, Robert S. Siegler. Linear Numerical-Magnitude Representations Aid Children’s Memory for Numbers, Psychological Science, 2010; DOI: 10.1177/095679761037830910.1177/0956797610378309
David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen, “Geometria intuitiva”, Bollati Boringhieri (2001) (Traduzione italiana di “Geometry and the Imagination”)www.bollatiboringhieri.it/autori/david-hilbert
Paul Lockhart, “Contro l'Ora di Matematica”, Rizzoli (2010)www.rizzoli.eu/libri/contro-lora-di-matematica
Sylvia Dorance sull’uso costruttivo dei materiali Montessoriwww.lacasanellaprateria.com/2012/11/montessori-e-linnovazione
Libri attorno alla matematicamariovalle.name/matematica/libri.html
Roger Antonsen: La matematica è il segreto nascosto per capire il mondowww.ted.com/talks/roger_antonsen_math_is_the_hidden_secret_to_understanding_the_world
Eugene Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, 1960www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html
Centro Svizzero di Calcolo Scientifico (CSCS)www.cscs.ch
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